Cos'è serie geometrica?

Serie Geometrica

Una serie geometrica è una serie in cui il rapporto tra termini consecutivi è costante. Questo rapporto è chiamato ragione della serie, solitamente denotato con la lettera r.

In altre parole, una serie geometrica ha la forma:

a + ar + ar<sup>2</sup> + ar<sup>3</sup> + ... + ar<sup>n-1</sup> + ...

Dove:

  • a è il primo termine della serie.
  • r è la ragione comune.

Somma di una serie geometrica finita

La somma S<sub>n</sub> dei primi n termini di una serie geometrica è data da:

S<sub>n</sub> = a(1 - r<sup>n</sup>) / (1 - r) se r ≠ 1

Se r = 1, la somma è semplicemente S<sub>n</sub> = na. È importante notare che questa formula funziona solo quando <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/ragione%20comune" title="Ragione Comune">la ragione comune</a> r non è uguale a 1.

Somma di una serie geometrica infinita

Una serie geometrica infinita converge (cioè, ha una somma finita) se e solo se |r| < 1. In questo caso, la somma S è data da:

S = a / (1 - r)

Se |r| ≥ 1, la serie geometrica infinita diverge (cioè, non ha una somma finita).

Applicazioni

Le serie geometriche hanno molte applicazioni in vari campi, tra cui:

  • Matematica finanziaria: Calcolo del valore presente e futuro di rendite.
  • Fisica: Modellazione del decadimento radioattivo e di fenomeni oscillatori smorzati.
  • Informatica: Analisi di algoritmi e strutture dati.
  • Economia: Modellazione della crescita economica.

Esempi

  • La serie 2 + 4 + 8 + 16 + ... è una serie geometrica con a = 2 e r = 2. Questa serie diverge.
  • La serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... è una serie geometrica con a = 1 e r = 1/2. Questa serie converge alla somma 1 / (1 - 1/2) = 2.

Concetti importanti

  • <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/primo%20termine" title="Primo Termine">Primo Termine</a>
  • <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/ragione%20comune" title="Ragione Comune">Ragione Comune</a>
  • <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/convergenza" title="Convergenza">Convergenza</a>
  • <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/divergenza" title="Divergenza">Divergenza</a>